一次函数与变化率
一条直线的‘每走一步变多少’，怎样同时出现在式子、表格和图像里？
调节斜率与截距，让图像、坐标和数值表一起变化，理解 y = mx + b 中两个参数各自控制什么。
学习目标
- 把一次函数（m ≠ 0）的斜率解释为 x 每增加 1 时 y 的变化量，并用 m = 0 的常数函数作对照。
- 辨认 y 轴截距 (0, b)，并用 y = mx + b 计算坐标。
- 在式子、数值表与直线图像之间建立联系。
开始前
- 会在直角坐标系中读写有序数对。
- 会代入正负数并完成乘法与加法。
一次函数实验
- 1从截距开始
- 2正斜率
- 3负斜率
- 4平行线
| x | y |
|---|---|
| -2 | 2.0 |
| -1 | 2.0 |
| 0 | 2.0 |
| 1 | 2.0 |
| 2 | 2.0 |
边观察，边解释
依次完成四步。按钮会把互动模型切换到对应观察状态。
-
先令 m = 0：所有输入都得到同一个输出 b，图像是经过 (0, b) 的水平线。在中国初中术语中它是常数函数，不属于要求 m ≠ 0 的一次函数；这里用它突出斜率的作用。
你的任务: 只改变 b，观察水平线如何上下平移，再把 m 调到非零进入一次函数。
-
m = 2 表示 x 每增加 1，y 增加 2。表格中相邻输出的差相同，直线从左下走向右上。
你的任务: 设 m = 2、b = 1，核对点 (0,1)、(1,3)、(2,5)。
-
m 为负数时，x 增加而 y 减少。负号改变变化方向，|m| 仍表示每一步变化量的大小。
你的任务: 设 m = −1.5，比较 x = 0、1、2 的 y 值。
-
保持 m 不变而改变 b，所有 y 值增加或减少同一个量，因此直线保持相同倾斜程度并互相平行。
你的任务: 固定 m = 1，来回调节 b，说出不变与改变的量。
把现象连成解释
斜率是一种比率
两点之间的斜率 m = Δy/Δx。m ≠ 0 的一次函数斜率处处相同；m = 0 时成为常数函数。
b 定位起点
当 x = 0 时，mx = 0，所以 y = b。这个坐标 (0,b) 是直线与 y 轴的交点。
三种表示讲同一件事
式子给出计算规则，表格列出一些输入输出，图像呈现所有符合规则的实数坐标。有限表格不是整条直线，但每一行都应落在直线上。
检查理解
可打印练习纸
先独立完成练习页；答案和解释在单独一页。
数学
一次函数与变化率
一条直线的‘每走一步变多少’，怎样同时出现在式子、表格和图像里？
- 函数 y = 3x − 2 中，x 每增加 1，y 怎样变化？
A. 增加 3 B. 减少 2 C. 增加 1
- y = −2x + 4 与 y 轴交于哪一点？
A. (0, 4) B. (4, 0) C. (0, −2)
- 当 y = 1.5x + 1 且 x = 2 时，y 是多少？
A. 2.5 B. 4 C. 5
- 哪条直线与 y = 2x + 1 平行但不同？
A. y = 2x − 3 B. y = −2x + 1 C. y = 3x + 1
答案页
一次函数与变化率
- 增加 3
斜率 m = 3 就是 Δx = 1 时的 Δy。截距 −2 只确定直线的上下位置。
- (0, 4)
y 轴上 x = 0；代入得到 y = 4，所以截距点是 (0,4)。
- 4
代入 x = 2：y = 1.5 × 2 + 1 = 4。
- y = 2x − 3
平行的非重合直线斜率相同而截距不同；两式斜率都为 2。