勾股定理：三边上的正方形
为什么两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积？
改变直角三角形的两条直角边，比较三边上正方形的面积，验证 a²+b²=c²。
学习目标
- 在直角三角形中正确指出斜边 c。
- 把边长的平方解释为该边上正方形的面积。
- 用 a²+b²=c² 求未知边并检查结果是否合理。
开始前
- 会计算正方形面积和正数的平方根。
- 认识直角、直角边与最长边。
三边上的正方形
- 1找斜边
- 2读面积
- 3合并面积
- 4求边长
边观察，边解释
依次完成四步。按钮会把互动模型切换到对应观察状态。
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a 与 b 在直角处相交。c 与直角相对，是斜边；只在直角三角形中，定理才用 c 表示这条最长边。
你的任务: 在图中找到直角标记，并指出不接触直角的边。
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边长为 a 的正方形面积是 a²，边长为 b 的是 b²，边长为 c 的是 c²。图形按边长比例绘制，数值框给出精确计算。
你的任务: 选择 a=3、b=4，比较 9、16 与 25。
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对任意直角三角形，两个直角边上正方形的总面积等于斜边上正方形的面积：a²+b²=c²。
你的任务: 把一条直角边改为 6，核对等式左右两边。
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先求 c²=a²+b²，再取正平方根得到边长 c=√(a²+b²)。边长为正，所以这里不用负平方根。
你的任务: 选择 a=5、b=5，估计 c 在哪两个整数之间，再读出结果。
把现象连成解释
“平方”既是运算也是面积
a² 表示 a×a，也正好是边长为 a 的正方形面积。三边上的正方形让代数等式成为面积关系。
斜边不是任意最长边
“斜边”专指直角三角形中与直角相对的边。没有直角，就不能直接使用这个定理，也不应把某边标成斜边 c。
逆定理可以检查直角
若一个三角形的最长边为 c，且边长满足 a²+b²=c²，那么它是直角三角形。这是勾股定理的逆定理。
检查理解
可打印练习纸
先独立完成练习页；答案和解释在单独一页。
数学
勾股定理：三边上的正方形
为什么两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积？
- 直角三角形的斜边是哪一条？
A. 与直角相对的边 B. 任意竖直边 C. 总是最短的边
- 直角边为 3 和 4 时，斜边长是多少？
A. 5 B. 7 C. 25
- 若 a²=36、b²=64，那么 c² 等于多少？
A. 28 B. 100 C. 10
- 什么时候可以直接用 a²+b²=c² 求第三边？
A. 任何三角形 B. 已知三角形有直角，且 c 是斜边 C. 只有三边都是整数
答案页
勾股定理：三边上的正方形
- 与直角相对的边
斜边与直角相对，并且是直角三角形的最长边。
- 5
c=√(3²+4²)=√25=5；25 是 c²，不是边长。
- 100
斜边正方形面积等于另外两个正方形面积之和：36+64=100。
- 已知三角形有直角，且 c 是斜边
勾股定理适用于直角三角形；边长可以是整数，也可以是无理数。