勾股定理：三邊上的正方形
為什麼兩條直角邊上的正方形面積之和等於斜邊上的正方形面積？
改變直角三角形的兩條直角邊，比較三邊上正方形的面積，驗證 a²+b²=c²。
學習目標
- 在直角三角形中正確指出斜邊 c。
- 把邊長的平方解釋為該邊上正方形的面積。
- 用 a²+b²=c² 求未知邊並檢查結果是否合理。
開始前
- 會計算正方形面積和正數的平方根。
- 認識直角、直角邊與最長邊。
三邊上的正方形
- 1找斜邊
- 2讀面積
- 3合併面積
- 4求邊長
邊觀察，邊解釋
依次完成四步。按鈕會把互動模型切換到對應觀察狀態。
-
a 與 b 在直角處相交。c 與直角相對，是斜邊；只在直角三角形中，定理才用 c 表示這條最長邊。
你的任務: 在圖中找到直角標記，並指出不接觸直角的邊。
-
邊長為 a 的正方形面積是 a²，邊長為 b 的是 b²，邊長為 c 的是 c²。圖形按邊長比例繪製，數值框給出精確計算。
你的任務: 選擇 a=3、b=4，比較 9、16 與 25。
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對任意直角三角形，兩個直角邊上正方形的總面積等於斜邊上正方形的面積：a²+b²=c²。
你的任務: 把一條直角邊改為 6，核對等式左右兩邊。
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先求 c²=a²+b²，再取正平方根得到邊長 c=√(a²+b²)。邊長為正，所以這裡不用負平方根。
你的任務: 選擇 a=5、b=5，估計 c 在哪兩個整數之間，再讀出結果。
把現象連成解釋
「平方」既是運算也是面積
a² 表示 a×a，也正好是邊長為 a 的正方形面積。三邊上的正方形讓代數等式成為面積關係。
斜邊不是任意最長邊
「斜邊」專指直角三角形中與直角相對的邊。沒有直角，就不能直接使用這個定理，也不應把某邊標成斜邊 c。
逆定理可以檢查直角
若一個三角形的最長邊為 c，且邊長滿足 a²+b²=c²，那麼它是直角三角形。這是勾股定理的逆定理。
檢查理解
可列印學習單
先獨立完成練習頁；答案和解釋在獨立一頁。
數學
勾股定理：三邊上的正方形
為什麼兩條直角邊上的正方形面積之和等於斜邊上的正方形面積？
- 直角三角形的斜邊是哪一條？
A. 與直角相對的邊 B. 任意垂直邊 C. 總是最短的邊
- 直角邊為 3 和 4 時，斜邊長是多少？
A. 5 B. 7 C. 25
- 若 a²=36、b²=64，那麼 c² 等於多少？
A. 28 B. 100 C. 10
- 什麼時候可以直接用 a²+b²=c² 求第三邊？
A. 任何三角形 B. 已知三角形有直角，且 c 是斜邊 C. 只有三邊都是整數
解答頁
勾股定理：三邊上的正方形
- 與直角相對的邊
斜邊與直角相對，並且是直角三角形的最長邊。
- 5
c=√(3²+4²)=√25=5；25 是 c²，不是邊長。
- 100
斜邊正方形面積等於另外兩個正方形面積之和：36+64=100。
- 已知三角形有直角，且 c 是斜邊
勾股定理適用於直角三角形；邊長可以是整數，也可以是無理數。