一次函數與變化率
一條直線的「每走一步變多少」，怎樣同時出現在式子、表格和圖像裡？
調節斜率與截距，讓圖像、座標和數值表一起變化，理解 y = mx + b 中兩個參數各自控制甚麼。
學習目標
- 把一次函數（m ≠ 0）的斜率解釋為 x 每增加 1 時 y 的變化量，並用 m = 0 的常數函數作對照。
- 辨認 y 軸截距 (0, b)，並用 y = mx + b 計算座標。
- 在式子、數值表與直線圖像之間建立聯繫。
開始前
- 會在直角座標系中讀寫有序數對。
- 會代入正負數並完成乘法與加法。
一次函數實驗
- 1從截距開始
- 2正斜率
- 3負斜率
- 4平行線
| x | y |
|---|---|
| -2 | 2.0 |
| -1 | 2.0 |
| 0 | 2.0 |
| 1 | 2.0 |
| 2 | 2.0 |
邊觀察，邊解釋
依次完成四步。按鈕會把互動模型切換到對應觀察狀態。
-
先令 m = 0：所有輸入都得到同一個輸出 b，圖像是經過 (0, b) 的水平線。在中國國中術語中它是常數函數，不屬於要求 m ≠ 0 的一次函數；這裡用它突出斜率的作用。
你的任務: 只改變 b，觀察水平線如何上下平移，再把 m 調到非零進入一次函數。
-
m = 2 表示 x 每增加 1，y 增加 2。表格中相鄰輸出的差相同，直線從左下走向右上。
你的任務: 設 m = 2、b = 1，核對點 (0,1)、(1,3)、(2,5)。
-
m 為負數時，x 增加而 y 減少。負號改變變化方向，|m| 仍表示每一步變化量的大小。
你的任務: 設 m = −1.5，比較 x = 0、1、2 的 y 值。
-
保持 m 不變而改變 b，所有 y 值增加或減少同一個量，因此直線保持相同傾斜程度並互相平行。
你的任務: 固定 m = 1，來回調節 b，說出不變與改變的量。
把現象連成解釋
斜率是一種比率
兩點之間的斜率 m = Δy/Δx。m ≠ 0 的一次函數斜率處處相同；m = 0 時成為常數函數。
b 定位起點
當 x = 0 時，mx = 0，所以 y = b。這個座標 (0,b) 是直線與 y 軸的交點。
三種表示講同一件事
式子給出計算規則，表格列出一些輸入輸出，圖像呈現所有符合規則的實數座標。有限表格不是整條直線，但每一行都應落在直線上。
檢查理解
可列印學習單
先獨立完成練習頁；答案和解釋在獨立一頁。
數學
一次函數與變化率
一條直線的「每走一步變多少」，怎樣同時出現在式子、表格和圖像裡？
- 函數 y = 3x − 2 中，x 每增加 1，y 怎樣變化？
A. 增加 3 B. 減少 2 C. 增加 1
- y = −2x + 4 與 y 軸交於哪一點？
A. (0, 4) B. (4, 0) C. (0, −2)
- 當 y = 1.5x + 1 且 x = 2 時，y 是多少？
A. 2.5 B. 4 C. 5
- 哪條直線與 y = 2x + 1 平行但不同？
A. y = 2x − 3 B. y = −2x + 1 C. y = 3x + 1
解答頁
一次函數與變化率
- 增加 3
斜率 m = 3 就是 Δx = 1 時的 Δy。截距 −2 只確定直線的上下位置。
- (0, 4)
y 軸上 x = 0；代入得到 y = 4，所以截距點是 (0,4)。
- 4
代入 x = 2：y = 1.5 × 2 + 1 = 4。
- y = 2x − 3
平行的非重合直線斜率相同而截距不同；兩式斜率都為 2。